CARDINAL

INTRODUCCION

Para un análisis considerablemente consecuente con la música atonal, en la Set Theory, Forte realiza un listado completo de toda posible formación de clases de alturas que pudieran llegar a aparecer en cualquier pieza de este tipo. Aunque parezca imposible, Allen Forte lo logra gracias a dos restricciones que reducen el número de formaciones posibles a proporciones manejables:

1-      Sólo se toman en cuenta las formaciones entre tres y nueve alturas diferentes. Un rango medio para que las relaciones que se encuentren  tengan alguna importancia, ya que si se tomaran las doce notas del total cromático se estaría incluyendo a toda la música, tonal y no tonal y todo derivaría de algo.

2-      Reducir las clases de alturas equivalentes por transposición o inversión a una única forma: la forma prima.

SIGNIFICADO

El número cardinal en la lista de Forte indica la cantidad de clases de alturas en un PC SET, o sea, el tamaño de un conjunto de clases de alturas y este tamaño puede variar entre 1 y 12 clases de alturas, pero debido a la restricción 1 anteriormente nombrada, Forte solo se basa en los conjuntos de clases de alturas que contienen entre tres y nueve clases de alturas diferentes.

UBICACIÓN DEL NÚMERO CARDINAL EN LA LISTA DE PC SET ELABORADA POR FORTE

En el siguiente ejemplo se puede ver como aparecen ordenados los PC SET en la lista de Forte.

4-4      [0,1,2,5]     (211110)

4-4 es el nombre del PC SET cuyo primer número corresponde al cardinal lo que significa que hay 4 elementos o clases de alturas en el grupo y en cualquiera de sus versiones. Mientras que el segundo  número indica la 4ta posición en la lista de conjuntos de cuatro elementos; [0,1,2,5] es su forma prima; y (211110) es su vector interválico.

UTILIZACION

El número cardinal es tenido en cuenta a la hora de realizar distintas operaciones con un PC SET, establecer o develar relaciones de similitud, comparaciones entre dos PC SET, etc.

En primer lugar,  para trabajar las relaciones entre dos grupos de clases de alturas, es necesario ordenarlas, reducirlas a un grupo ordenado básico, denominado orden normal. Para llegar a este ordenamiento es necesaria la permutación que consta de colocar el primer elemento de la serie al último – y así con el resto de las permutaciones - y que depende de la cantidad de elementos de la serie, o sea, del número cardinal de un conjunto de clases de alturas o PC SET ya que la cantidad de permutaciones que obtendremos es igual a ese número cardinal. Por ejemplo, dado el PC SET [1,3,0], para obtener su orden normal lo primero es ordenarlo de manera ascendente y en cada permutación mantener ese orden ascendente por lo que deberemos sumar 12 al elemento que pasa del inicio del grupo al final.

AO [0,1,3]; 3-0=3

A1 [1,3,12]; 12-1=11

A2 [3,12,13]; 13-3=10

La cantidad de permutaciones es igual al número cardinal, tres. El orden normal según la condición 1 será aquella permutación con la menor diferencia entre el primero y último elementos. En este caso es A0. Pero si la condición 1 no funciona porque la diferencia entre el primero y el último elementos es la misma en dos permutaciones, la condición 2 procede a buscar la menor diferencia entre el primero y el segundo elementos, y si no se cumple, se continúa por el primero y el tercero elementos y así hasta determinar una permutación como orden normal. La forma de un grupo de clases de alturas que sea un orden normal y cuyo primer elemento sea 0, se denomina forma prima. Para llegara a ella se toma el orden normal y se resta el primer elemento a todos sus enteros. 

Otra implicancia del número cardinal es en cuanto a la cantidad de intervalos en un conjunto de clases de alturas. Por ejemplo, si el cardinal es 3, un tricordo, la cantidad de intervalos de su vector interválico es 3: de la primera clase de alturas a la segunda hay un intervalo; de la primera a la tercera, otro; y de la segunda clase de alturas a la tercera hay otro intervalo.  Luego se determinará qué tipo de intervalos son cada uno, definiendo así el vector interválico.

A la hora de establecer relaciones de equivalencia entre dos PC SET, el número cardinal juega un papel importante: dos PC SET pueden ser sometidos a comparación mientras puedan reducirse a un grupo de clases de altura del mismo cardinal. Por ejemplo, cuando intuimos a partir de la escucha que dos PC SET son equivalentes porque sospechamos que uno es transposición o inversión del otro, lo primero a tener en cuenta para poner a prueba esta hipótesis es que ambos PC SET compartan la misma cardinalidad, requisito fundamental para que dos conjuntos de clases de alturas puedan reducirse a la misma forma prima por transposición o por inversión seguida de transposición.

En cuanto a las relaciones de similitud entre dos PC SET, el número cardinal también es tenido en cuenta por ejemplo en el tipo de relación de similitud que Forte denomina Similitud Máxima en Relación a las Clases de Alturas y que se escribe Rp. Esta relación se tiene lugar cuando dos PC SET de igual cardinalidad comparten un sub-grupo de alturas que es igual a la cardinalidad menos uno. Por ejemplo, los PC SET 4-7 [0,1,4,5] y 4-19 [0,1,4,8] contienen 4 clases de alturas diferentes de las cuales comparten 3 y se diferencian por la última de sus clases de alturas. Como Rp no tiene demasiada relevancia porque un PC SET puede llegar a relacionarse con muchísimos otros por esta relación, Forte combina esta relación Rp referida a las clases de alturas compartidas por dos PC SET, con las relaciones R0, R1 y R2 que refieren a la clase de intervalos compartidos por dos PC SET, logrando así, particularizar las observaciones, reduciendo el rango a relaciones de mayor importancia. Para detallar estas relaciones Forte confecciona una serie de matrices por cardinalidad, con todas las posibles relaciones entre (R0, Rp), o (R1, Rp), o (R2, Rp). Estas matrices se leen atravesando los PC SET. Por ejemplo, en la matriz siguiente que corresponde a los PC SET de cardinalidad 4 se muestra la relación compuesta (R1, Rp). La x en la fila 3, columna 2 quiere decir que los conjuntos de clases de alturas 4-3 y 4-2 estan tanto en relación R1 como Rp.

BIBLIOGRAFIA

Primera y Segunda parte de la Traducción y Resumen (aunque no tanto), del texto de Allen Forte The Structure of Atonal Music (New Haven and London: Yale University Press, 1973)

Enfoques Analíticos de la Música del Siglo XX. Joel Lester. 1989

El Análisis de la Set Theory. Nicholas Cook. 1994