Análisis Compositivo II

    Cuando hablamos de sub-grupo nos referimos a un tipo de relación específica existente entre dos “Pitch Class Set” (PC Set) o conjuntos de clases de alturas. Dicha relación es denominada por la Set Theory como “relación de inclusión[1]”.

     Identificamos un sub-grupo cuando un determinado conjunto de clases de alturas se encuentra incluido dentro de otro cuyo número de cardinalidad es superior, de manera tal que para que uno contenga a otro es necesario que uno de los dos PC Set tenga mayor cantidad de elementos. Por ejemplo, el sub-grupo de un PC Set de cardinalidad 6 debe tener un cardinal inferior, es decir de 5 a 3 (ya que 3 es lo mínimo requerido para considerar un PC Set).

     Este tipo de relación puede ser muy evidente en algunos casos, incluso podría ser notable en la partitura misma sin necesidad de acudir a un análisis de estas características. Tal puede ser el caso del siguiente ejemplo: si observamos los PC Set 4-22 [0,2,4,7] y 5-35 [0,2,4,7,9] salta a la vista que 4-22 está incluido en 5-35[2] (Forte propone indicar la existencia de un sub-grupo tal como se muestra a la derecha del gráfico 1), por lo tanto podemos decir que 4-22 es un sub-grupo de 5-35 (o bien que 5-35 es un super-grupo de 4-22). Esta relación resulta incluso más obvia si lo llevamos a la notación musical: 5-35 es una escala pentatónica mientras que 4-22 es una versión incompleta de ésta, como se muestra en el gráfico 1. No obstante, también puede ocurrir que se contenga dentro de un PC Set un subgrupo transpuesto, y aquí ya no es tan evidente si nos quedamos sólo con lo que vemos en la partitura. Para ejemplificar observemos el gráfico 2: superficialmente 4-3 no tiene nada en común con 6-z23. Sin embargo, si analizamos detenidamente, podemos ver que las clases de alturas 2,3,5,6 contenidas en 6-z23 son una transposición a dos semitonos ascendentes (t=2) de 4-3 (2,3,5,6 se pasa a 0), por lo tanto podemos afirmar que 4-3 es un sub-grupo de 6-z23 que se encuentra transpuesto.

     Así como un sub-grupo puede encontrarse transpuesto, también puede que se encuentre invertido, siendo aún menos visible. Esta es una opción que propone y ejemplifica Nicolas Cook[3], explicando que un sub-grupo invertido puede estar contenido en un PC Set.

     Cabe señalar aquí el concepto de invariancia. Nos referimos a éste cuando en dos PC Set diferentes hay ciertos sub-grupos que comparten exactamente las mismas notas. Sirve como ejemplo el gráfico 3: si ordenamos lo que se presenta de forma vertical obtenemos el PC Set 6-34, luego encontramos 6-z25 de forma horizontal. A pesar de ser diferentes, nótese que comparten ciertas alturas (0,1,3,5). Una vez que vislumbramos cuales son dichas alturas debemos buscar ese PC Set, en este caso es de 4 elementos, y obtenemos 4-11 [0,1,3,5]. Así, podremos afirmar que 4-11 es un sub-grupo por invariancia de 6-34 y de 6-z25 debido a que esas 4 alturas se mantienen en común entre uno y otro PC Set.  

     Puede que en un análisis a pequeña escala nos resulte poco útil encontrar este tipo de relaciones. Se vuelve más interesante a medida que se estudian estructuras a mayor escala ya que nos ayudar a comprender cómo se relacionan los diferentes conjuntos de clases de alturas, produciendo un acercamiento a las cuestiones estructurales de la pieza que se esté analizando, con el objetivo de poder justificar su coherencia discursiva.

Bibliografía

.Cook, Nicholas. “El análisis de la Set Theory”, en A guide to musical analysis, Oxford: Oxford University Press (1994).

. Sammartino, Federico. “La set theory como metodología analítica: antecedentes, descripción y prolegómenos analíticos”.

. Sammartino, Federico. “Traducción y Resumen (aunque no tanto), del texto de Allen Forte The Structure of Atonal Music” (New Haven and London: Yale University Press, 1973), Apunte de cátedra (2012).

. Sammartino, Federico. “Segunda Parte de la Traducción y Resumen (aunque no tanto), del texto de Allen Forte The Structure of Atonal Music (New Haven and London: Yale University Press, 1973)”, Apunte de cátedra (2012).